CSP 2021 提高级第一轮

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kayn

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初赛

CSP 2021 提高级第一轮（2021 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮，提高级 C++ 语言试题）满分 100 分，时长 120 分钟。

一、单项选择题

（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

第 1 题（2 分）

在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（）。

ls
cd
cp
all

第 2 题（2 分）

二进制数 $00101010_{2}$ 和 $00010110_{2}$ 的和为（）。

$00111100_{2}$
$01000000_{2}$
$00111100_{2}$
$01000010_{2}$

第 3 题（2 分）

在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（）引发错误。

系统分配的栈空间溢出
系统分配的队列空间溢出
系统分配的链表空间溢出
系统分配的堆空间溢出

第 4 题（2 分）

以下排序方法中，（）是不稳定的。

插入排序
冒泡排序
堆排序
归并排序

第 5 题（2 分）

以比较为基本运算，对于 $2n$ 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比较次数为（）。

$4n-2$
$3n+1$
$3n-2$
$2n+1$

第 6 题（2 分）

现有一个地址区间为 $0\sim 10$ 的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储（到 $10$ 冲突了就从 $0$ 开始往后），现在要依次存储 (0,1,2,3,4,5,6,7)，哈希函数为 $h(x)=x^{2} \bmod 11$ 。请问 $7$ 存储在哈希表哪个地址中（）。

第 7 题（2 分）

$G$ 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 $36$ 条边，则该图至少有（）个点。

第 8 题（2 分）

令根结点的高度为 $1$ ，则一棵含有 $2021$ 个结点的二叉树的高度至少为（）。

10
11
12
2021

第 9 题（2 分）

前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（）。

只有 $1$ 个点的二叉树
根结点没有左子树的二叉树
非叶子结点只有左子树的二叉树
非叶子结点只有右子树的二叉树

第 10 题（2 分）

定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 DACFEB 变为 ABCDEF 最少需要（）次上述操作。

第 11 题（2 分）

有如下递归代码：

solve(t, n):
    if t == 1 return 1
    else return 5 * solve(t - 1, n) mod n

则 solve(23,23) 的结果为（）。

第 12 题（2 分）

斐波那契数列的定义为： $F_1=1$ ， $F_2=1$ ， $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\ (n\ge 3)$ 。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 $n$ 项，其时间复杂度为（）。

F(n):
    if n <= 2 return 1
    else return F(n - 1) + F(n - 2)

$O(n)$
$O(n^2)$
$O(2^n)$
$O(n \log n)$

第 13 题（2 分）

有 $8$ 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（）种方案。

第 14 题（2 分）

设一个三位数 $n=\overline{abc}$ ， $a,b,c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a,b,c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（）个。

第 15 题（2 分）

如下的有向图，节点为 $A,B,\cdots,J$ ，其中每条边的长度都标在图中。则节点 $A$ 到节点 $J$ 的最短路径长度为（）。

若图片无法加载，请手动上传题目原图（ $A\sim J$ 的有向带权图）。

二、阅读程序

（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

（1）

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double r = acos(0.5);

int a1, b1, c1, d1;
int a2, b2, c2, d2;

inline int sq(const int x) { return x * x; }
inline int cu(const int x) { return x * x * x; }

int main()
{
    cout.flags(ios::fixed);
    cout.precision(4);

    cin >> a1 >> b1 >> c1 >> d1;
    cin >> a2 >> b2 >> c2 >> d2;

    int t = sq(a1 - a2) + sq(b1 - b2) + sq(c1 - c2);

    if (t <= sq(d2 - d1)) cout << cu(min(d1, d2)) * r * 4;
    else if (t >= sq(d2 + d1)) cout << 0;
    else {
        double x = d1 - (sq(d1) - sq(d2) + t) / sqrt(t) / 2;
        double y = d2 - (sq(d2) - sq(d1) + t) / sqrt(t) / 2;
        cout << (x * x * (3 * d1 - x) + y * y * (3 * d2 - y)) * r;
    }

    cout << endl;
    return 0;
}

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

判断题

第 16 题（1.5 分）

将第 $21$ 行中 t 的类型声明从 int 改为 double，不会影响程序运行的结果。（）

正确
错误

第 17 题（1.5 分）

将第 $26$ 、 $27$ 行中的 / sqrt(t) / 2 替换为 / 2 / sqrt(t)，不会影响程序运行的结果。（）

正确
错误

第 18 题（1.5 分）

将第 $28$ 行中的 x * x 改成 sq(x)、y * y 改成 sq(y)，不会影响程序运行的结果。（）

正确
错误

第 19 题（2 分）

当输入为 0 0 0 1 1 0 0 1 时，输出为 1.3090。（）

正确
错误

单选题

第 20 题（3 分）

当输入为 1 1 1 1 1 1 1 2 时，输出为（）。

3.1416
6.2832
4.7124
4.1888

第 21 题（2.5 分）

这段代码的含义为（）。

求圆的面积并
求球的体积并
求球的体积交
求椭球的体积并

（2）

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

int n, a[1005];

struct Node
{
    int h, j, m, w;

    Node(const int _h, const int _j, const int _m, const int _w):
        h(_h), j(_j), m(_m), w(_w)
    { }

    Node operator+(const Node &o) const
    {
        return Node(
            max(h, w + o.h),
            max(max(j, o.j), m + o.h),
            max(m + o.w, o.m),
            w + o.w);
    }
};

Node solve1(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return Node(-1, -1, -1, -1);
    if (h == m)
        return Node(max(a[h], 0), max(a[h], 0), max(a[h], 0), a[h]);
    int j = (h + m) >> 1;
    return solve1(h, j) + solve1(j + 1, m);
}

int solve2(int h, int m)
{
    if (h > m)
        return -1;
    if (h == m)
        return max(a[h], 0);
    int j = (h + m) >> 1;
    int wh = 0, wm = 0;
    int wht = 0, wmt = 0;
    for (int i = j; i >= h; i--) {
        wht += a[i];
        wh = max(wh, wht);
    }
    for (int i = j + 1; i <= m; i++) {
        wmt += a[i];
        wm = max(wm, wmt);
    }
    return max(max(solve2(h, j), solve2(j + 1, m)), wh + wm);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    cout << solve1(1, n).j << endl;
    cout << solve2(1, n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

判断题

第 22 题（1.5 分）

程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（）

正确
错误

第 23 题（1.5 分）

第 $28$ 行与第 $38$ 行分别有可能执行两次及以上。（）

正确
错误

第 24 题（1.5 分）

当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。（）

正确
错误

单选题

第 25 题（3 分）

solve1(1, n) 的时间复杂度为（）。

$O(\log n)$
$O(n)$
$O(n \log n)$
$O(n^2)$

第 26 题（3 分）

solve2(1, n) 的时间复杂度为（）。

$O(\log n)$
$O(n)$
$O(n \log n)$
$O(n^2)$

第 27 题（3 分）

当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（）。

13
17
24
12

（3）

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

char base[64];
char table[256];

void init()
{
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[i] = 'A' + i;
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[26 + i] = 'a' + i;
    for (int i = 0; i < 10; i++) base[52 + i] = '0' + i;
    base[62] = '+', base[63] = '/';

    for (int i = 0; i < 256; i++) table[i] = 0xff;
    for (int i = 0; i < 64; i++) table[base[i]] = i;
    table['='] = 0;
}

string encode(string str)
{
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i + 3 <= str.size(); i += 3) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
        ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2 | str[i + 2] >> 6];
        ret += base[str[i + 2] & 0x3f];
    }
    if (i < str.size()) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        if (i + 1 == str.size()) {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4];
            ret += "==";
        }
        else {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
            ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2];
            ret += "=";
        }
    }
    return ret;
}

string decode(string str)
{
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i < str.size(); i += 4) {
        ret += table[str[i]] << 2 | table[str[i + 1]] >> 4;
        if (str[i + 2] != '=')
            ret += (table[str[i + 1]] & 0x0f) << 4 | table[str[i + 2]] >> 2;
        if (str[i + 3] != '=')
            ret += table[str[i + 2]] << 6 | table[str[i + 3]];
    }
    return ret;
}

int main()
{
    init();
    cout << int(table[0]) << endl;

    int opt;
    string str;
    cin >> opt >> str;
    cout << (opt ? decode(str) : encode(str)) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

判断题

第 28 题（1.5 分）

程序总是先输出一行一个整数，再输出一行一个字符串。（）

正确
错误

第 29 题（1.5 分）

对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入 0 str1，得到输出的第二行记为 str2，再执行程序输入 1 str2，输出的第二行必为 str1。（）

正确
错误

第 30 题（1.5 分）

当输入为 1 SGVsbG93b3JsZA== 时，输出的第二行为 HelloWorld。（）

正确
错误

单选题

第 31 题（3 分）

设输入字符串长度为 $n$ ，encode 函数的时间复杂度为（）。

$O(\sqrt{n})$
$O(n)$
$O(n \log n)$
$O(n^2)$

第 32 题（3 分）

输出的第一行为（）。

0xff
255
0xFF
-1

第 33 题（4 分）

当输入为 0 CSP2021csp 时，输出的第二行为（）。

Q1NQMjAyMWNzcAv=
Q1NQMjAyMGNzcA==
Q1NQMjAyMGNzcAv=
Q1NQMjAyMWNzcA==

三、完善程序

（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

（1）（魔法数字）

小 H 的魔法数字是 $4$ 。给定 $n$ ，他希望用若干个 $4$ 进行若干次加法、减法和整除运算得到 $n$ 。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 $M=10000$ 的正整数。求至少可能用到多少个 $4$ 。

例如，当 $n=2$ 时，有 $2=\dfrac{4+4}{4}$ ，用到了 $3$ 个 $4$ ，是最优方案。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <climits>

using namespace std;
const int M = 10000;

bool Vis[M + 1];
int F[M + 1];

void update(int &x, int y) {
    if (y < x)
        x = y;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= M; i++)
        F[i] = INT_MAX;

    ①;
    int r = 0;
    while (②) {
        r++;
        int x = 0;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            if (③)
                x = i;
        Vis[x] = 1;
        for (int i = 1; i <= M; i++)
            if (④) {
                int t = F[i] + F[x];
                if (i + x <= M)
                    update(F[i + x], t);
                if (i != x)
                    update(F[abs(i - x)], t);
                if (i % x == 0)
                    update(F[i / x], t);
                if (x % i == 0)
                    update(F[x / i], t);
            }
    }

    cout << F[n] << endl;
    return 0;
}

第 34 题（3 分）

①处应填（）

F[4] = 0
F[1] = 4
F[1] = 2
F[4] = 1

第 35 题（3 分）

②处应填（）

!Vis[n]
r < n
F[M] == INT_MAX
F[n] == INT_MAX

第 36 题（3 分）

③处应填（）

F[i] == r
!Vis[i] && F[i] == r
F[i] < F[x]
!Vis[i] && F[i] < F[x]

第 37 题（3 分）

④处应填（）

F[i] < F[x]
F[i] <= r
Vis[i]
i <= x

（2）（RMQ 区间最值问题）

给定序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$ ， $m$ 次询问，每次询问给定 $l,r$ ，求 $\max\{a_l,\cdots,a_r\}$ 。

为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians，其时间复杂度为 $O(n+m)$ ，步骤如下：

建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。
对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。
注意新的问题为 $\pm1$ RMQ，即相邻两点的深度差一定为 $1$ 。

下面解决这个 $\pm1$ RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：

设 $t$ 为 Euler 序列长度。取 $b=\lceil \frac{\log_2 t}{2} \rceil$ ，将序列每 $b$ 个分为一大块，使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 $O(\frac{t}{b}\log t)=O(n)$ 。
（重点） 对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 $O(1)$ 的算法。由于差分数组 $2^{b-1}$ 种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 $O(b2^b)$ ，不超过 $O(n)$ 。
最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。