本讲定位：复赛冲刺系列第 02 讲。只服务一个目标：CSP-S 一等。

1. ⚠️ CSP-S 七年 7 道 T1 里，6 道是 S 层（基本盘），占 86%。 只有 1 道是 S⭐（2022 T1 假期计划）。**T1 不是"难题的开头"，它是一道独立的、可以被彻底吃掉的送分题。
2. ⚠️ 同样 7 道 T2，只有 2 道是 S 层，占 29%；其余 5 道 S⭐、1 道 S⭐⭐。T1 和 T2 之间有一个陡坎，两者不该用同一种打法。
3. ⚠️ 8 道 T1 里，贪心 3 道、模拟/枚举 3 道，合计 6 道 = 75%。 剩下两道是计数 DP 和图论 BFS。**T1 的考点高度集中，可以专项训练。
4. 七年 T1 没有一道需要高级数据结构。 最重的工具是优先队列（2021 廊桥分配）。**T1 丢分从来不是因为不会算法。

前置：basic-series/03（贪心）、basic-series/04（枚举与模拟）。

适合对象：冲 S 一等的学生必读全文。

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1. 先看清楚 T1 是什么

1.1 七年八道 T1

年	洛谷	题名	主考点	层
2019 D1	P5657	格雷码	构造 + 位运算（basic-04 / math）	S
2020	P7075	儒略日	模拟（basic-04）
2021	P7913	廊桥分配	贪心（basic-03）
2022	P8817	假期计划	图论 BFS 预处理（graph-series）	S⭐
2023	P9752	密码锁	枚举（basic-04）	S
2024	P11231	决斗	贪心（basic-03）
2025	P14361	社团招新

T1：一个贪心或模拟，$n$ 不大。2021 廊桥分配、2024 决斗、2025 社团招新都是"想通一句话就写完"的题。T1 不会做 = 无缘一等奖。

1.2 那道例外说明什么

2022 T1 假期计划（S⭐，图论）——这道不是"送分的 T1"。

2022——七年里唯一一次把 S⭐ 放在 T1 位置上。

结论：T1 是 S 层的概率是 75%，但不是 100%。 所以考场上不能默认"T1 一定简单"—— 通读完再定作战顺序**。如果 T1 一眼看去不像三十分钟能写完的题，那一年可能就是 2022。

1.3 131 分的算式

T1 满分	100
还差	31
从哪来	T2 的一档部分分，或 T3/T4 的暴力分

所以本讲的结构是：2–4 讲怎么把 T1 吃满，5–6 讲 T2 的 31 分怎么抠。

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2. T1 的考点高度集中

八道题的主考点：

主考点	次数	年份
贪心（basic-03）	3	2021 廊桥分配、2024 决斗、2025 社团招新
模拟 / 枚举 / 构造（basic-04）		2019 D1 格雷码、2020 儒略日、2023 密码锁
图论（graph-series）	1	2022 假期计划

贪心 + 模拟枚举 = 6/7 = 86%。

这意味着 T1 是可以专项训练的。 不需要复习全部算法——把贪心和模拟练到不出错，就基本覆盖了T1。

2.1 三道贪心 T1 的共同形态

题	那"一句话"
2024 决斗 P11231	相同攻击力的怪兽互相吃不掉 → 答案就是众数的出现次数
2025 社团招新 P14361	$n$ 偶数、每社团上限 $n/2$ → 抽屉原理保证最多一个社团超限，单独处理它
2021 廊桥分配 P7913	廊桥数固定时贪心分配是最优的 → 枚举分界点 + 前缀和，两边各算一次

三道题的结构完全一样：

题面给一个看起来复杂的过程
      ↓
有一个条件（"相同的吃不掉" / "上限 n/2" / "廊桥数固定"）
      ↓
这个条件把问题塌缩成一句话
      ↓
代码 20 行

T1 贪心题的难点不在算法，在"敢不敢相信自己推出来的那句话"。

学生最常见的失败模式是：推出了正确结论，但因为"这也太简单了吧"而不敢写，转去想复杂做法，然后时间没了。

2.2 怎么建立这个信心

用数据范围反推（01-contest-strategy.md §3）：

• 2024 决斗 $n\le10^5$ → 只能 $O(n)$ 或 $O(n\log n)$ → 不可能有复杂做法，只能是一个 $O(n)$ 的统计
• 2025 社团招新同理

当数据范围只允许 $O(n)$，而你想到了一个 $O(n)$ 的结论——那八成就是答案。 数据范围是出题人给你的确认信号。

2.3 三道模拟/枚举 T1 的共同形态

题	形态
2023 密码锁 P9752	状态空间只有 $10^5$ → 直接枚举所有可能的原始密码，求交集
2020 儒略日 P7075	没有算法，全是分段与边界（儒略历 / 1582 切换 / 格里高利历），long long
2019 D1 格雷码 P5657	递归找规律，按位确定

这一类的难点也不在算法，在两件事：

1. 敢不敢估算状态空间然后直接暴力（密码锁）
2. 有没有耐心把分类讨论做全（儒略日）

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3. 逐题过：三道贪心 T1

3.1 2024 T1 决斗（P11231）

题意：$n$ 个怪兽各有攻击力，每轮攻击力最大的可以吃掉攻击力最小的（同攻击力不能互吃），问最后最少剩几只。

推理链：

1. 攻击力相同的怪兽之间谁也吃不掉谁 → 设某个值出现了 $c$ 次，这 $c$ 只至少剩 1 只吗？不对，是至少剩…… 想清楚：它们必须被攻击力更大的吃掉，而一只大的一轮只能吃一只。
2. 于是答案的下界是众数的出现次数。
3. 这个下界能取到（构造：每次让大的去吃当前最多的那一组里的一只）。

代码骨架（$O(n)$ 或排序后 $O(n\log n)$）：

读入 a[1..n]
用桶 / 排序统计每个值出现次数
答案 = 最大出现次数

失分点：值域大时忘了离散化或用 map；不敢相信结论去写复杂模拟。

讲义指回：basic-series/03-sorting-and-greedy.md §3。

3.2 2025 T1 社团招新（P14361）

题意：$n$ 名新生（$n$ 为偶数）各有首选社团，每个社团人数不能超过 $n/2$，要把所有人分配掉。

推理链：

1. 统计每个社团的首选人数 $c_i$。
2. $\sum c_i = n$，上限是 $n/2$ → 最多只有一个社团的 $c_i > n/2$（两个都超就超过 $n$ 了）——这就是抽屉原理。
3. 没有社团超限 → 全部按首选分配，完事。
4. 有一个社团超限 → 只需处理这一个，把多出来的人分给别处。

失分点：没看出 $n/2$ 是抽屉条件，去写复杂的匹配 / 网络流。

3.3 2021 T1 廊桥分配（P7913）

题意：机场有国内、国际两类航班共用一批廊桥，要把 $m$ 个廊桥分给两类，最大化能停靠的航班总数。

推理链：

1. 给定廊桥数时，贪心分配（谁先来谁先用，用优先队列维护空闲廊桥）是最优的——这一步要用交换论证说服自己（basic-series/03 §4）。
2. 于是可以独立地算出：国内用 $k$ 个廊桥能停多少架（$k=0..m$），国际同理。
3. 枚举分界点 $k$，答案是 $\max_k (f_{国内}(k) + f_{国际}(m-k))$。

这道题的结构值得单独记：

"两个部分共享一个总量，求最优划分" → 各自算前缀函数，然后枚举分界点。

这是 S 组反复出现的套路。

失分点：优先队列的比较器写反；$f$ 数组的前缀单调性没利用。

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4. T1 零失误清单

T1 丢分几乎从来不是因为不会算法。

那分丢在哪？按可控程度排：

#	丢分原因	对策
1	推出了结论但不敢写	用数据范围确认。$n\le10^5$ 只允许 $O(n\log n)$，你的简单结论就是答案
2	分类讨论漏情况	儒略日、策略游戏这类。写之前在草稿纸上把所有情况列出来编号，写完逐条对
3	没开 long long	T1 的数据范围常常故意卡在 $2^{31}$ 边缘
4	边界：$n=1$、全相等、最小/最大值	交卷前手输三组
5	读入格式 / 多测清空	tools/precheck.sh
6	花太久	T1 超过 30 分钟就说明判断失误了，回头重读题

把这张表贴在显示器上。 S 一等的 131 分里有 100 分在 T1，而这 100 分的敌人是这六条，不是算法。

4.1 T1 的时间纪律

时刻	动作
读完题	先判断：这是不是 S 层的"一句话题"？
想 ≤ 10 分钟	说得出那"一句话"就动手
写 ≤ 15 分钟	T1 的代码通常 20–40 行
超过 30 分钟还没过样例	回头重读题面——大概率是题意理解错了，不是算法错了

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5. T2 是另一回事

5.1 七年七道 T2

年	洛谷	题名	主考点	层
2019 D1	P5658	括号树	树上 DP	S⭐
2020	P7076	动物园	位运算 + 枚举	S
2021	P7914	括号序列	区间 DP	S⭐
2022	P8818	策略游戏	贪心 + 分类讨论	S
2023	P9753	消消乐	栈 + DP	S⭐
2024	P11232	超速检测	贪心（区间覆盖）+ 二分
2025	P14362	道路修复	MST + 子集枚举

只有 2/8 = 25% 是 S 层，其余 5 道 S⭐、1 道 S⭐⭐。

T1 到 T2 之间有一个陡坎。 T1 的 75% 是基本盘，T2 的 75% 是区分一等奖的题。两者不该用同一种打法。

5.2 T2 的正确打法：只要 31 分

回到算式：T1 满分 100 + T2 抠 31 = 131。

你不需要做出 T2。 你需要的是它的一档部分分。

T2	低档能拿什么
2024 超速检测	$O(nm)$ 暴力（对每辆车枚举每个检测点），十五分钟能写完
2025 道路修复	暴力枚举保留哪些边，每次跑 MST
2023 消消乐	$O(n^2)$ / $O(n^3)$ 枚举所有子串逐个模拟消除
2021 括号序列	小 $n$ 暴力枚举每个未定位置填什么
2022 策略游戏	$O(nm)$ 双重枚举——这一档往往就有 30~40 分
2019 D1 括号树	$O(n^2)$：每个点单独扫一遍到根的路径

六道题的低档全是"直接按题意暴力"，没有一道需要巧思。

这就是 §1.3 那 31 分的来源。 按 01-contest-strategy.md §4.1：一道题的最低档通常值 20~30 分，而暴力通常十五分钟能写完。

5.3 那两道 S 层的 T2 要拿满

2020 动物园和 2022 策略游戏是 S 层——遇到这种年份，T2 应该按 T1 的标准去打，拿满分。

怎么认出来？看数据范围和题面复杂度：

• 2022 策略游戏：$n,m\le10^5$，问题是"两个数组各选一个数求乘积的博弈" → 前缀极值 + 分类讨论正负。没有算法门槛，全是分类。
• 2020 动物园：按位统计，$O(n\cdot 64)$。没有算法门槛。

判据：如果 T2 读完之后你能用一两句话说清楚要干什么，且数据范围允许直接做——那就是 S 层的 T2，按 T1 的标准打，目标满分。

如果读完之后需要设计状态、建模、或者想不出怎么把复杂度降下来——那是 S⭐，只拿低档。

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6. T2 的时间纪律

阶段	时长	动作
读题 + 判层	3′	S 层还是 S⭐
若是 S 层	≤ 30′	按 T1 标准打，目标满分
若是 S⭐：想正解	≤ 20′	说得出状态和转移就写；说不出进下一步
若是 S⭐：写暴力	15′	20~30 分到手，131 的缺口就补上了
扫子任务表加特判	10′	再加 10~20 分
撤	—	去 T3（本系列卷子的 T5）或回去检查 T1

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7. 识别信号：看到什么想到什么

考场上看到	立刻想到
T1 读完能用一句话说清要干什么	75% 的年份就是这样。动手，别怀疑
T1 的 $n\le10^5$ 而你想到了 $O(n)$ 结论	数据范围在确认你
T1 题面里有一个"看起来多余"的条件（$n$ 为偶数、上限 $n/2$、互不相同）	那个条件就是解法。2025 社团招新的 $n/2$ 就是抽屉
T1 状态空间能估出来且 $\le10^6$	直接暴力枚举。2023 密码锁就是这样
T1 全是分段和边界，没有算法	2020 儒略日型。草稿纸列全所有情况再动手，开 long long
T1 超过 25 分钟还没过样例	回头重读题面，大概率题意错了
T2 读完能一两句说清 + 数据范围允许直接做	S 层 T2（25% 的年份），按 T1 标准打，拿满分
T2 需要设计状态 / 建模 / 降复杂度	S⭐（75% 的年份），想 20 分钟不行就写暴力
T2 的暴力是"直接按题意做"	写它。这 20~30 分就是 131 的缺口

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8. 常见错误与考点分析

错误 1（S 最贵的一个）：把 T1 当成"难题的开头"来敬畏。 七年 86% 的 T1 是基本盘。T1 丢分 = 一等奖没了（csps-round2-analysis §3 原话："T1 不会做 = 无缘一等奖"）。

错误 2：推出了简单结论但不敢写。 用数据范围反推确认。

错误 3：T1 的分类讨论漏情况。 儒略日、策略游戏这一类。写之前在草稿纸上把情况编号列全，写完逐条对。

错误 4：T2 想做满分。 S 一等只要 T2 的 31 分。在 T2 上追求满分，往往是把 T1 的检查时间也赔进去。

错误 5：没判 T2 的层就开打。 S 层的 T2（2020、2022）应该拿满，S⭐ 的只拿低档——这两种打法差别很大，判错代价很高。

错误 6：T1 没开 long long。 T1 的数据范围常常故意卡在 $2^{31}$ 边缘。

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9. 小结

1. CSP-S 七年 7 道 T1 里 6 道是 S 层（86%），贪心 3 道 + 模拟枚举 3 道也是 86%。T1 是可以专项吃掉的。
2. 131 分 = T1 满分 100 + 再抠 31。 那 31 分从 T2 的低档暴力来。
3. T1 丢分从来不是因为不会算法（七年最重的工具只是优先队列），而是：不敢写、漏分类、没开 long long、边界、读入、超时。
4. T1 贪心题的结构都一样：题面里有一个"看起来多余"的条件，它把问题塌缩成一句话。那个条件就是解法。
5. T1 超过 25 分钟还没过样例 → 回头重读题面，大概率是题意错了。
6. T2 有 75% 是 S⭐，不要想做满分。 先判层，S 层的拿满，S⭐ 的只拿低档暴力。